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Arbeitsgruppe Numerik

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Numerik

3. Physik

Die im Jahre 1895 von Wilhelm Conrad Röntgen entdeckte und nach ihm benannte Röntgenstrahlung wird im Allgemeinen dadurch erzeugt, dass man die aus Metallen mittlerer oder hoher Massenzahl (Mo, Cu bzw. W) bestehende Anode, häufig auch als Antikathode bezeichnet, mit elektronenoptisch (z.B. durch einen Wehnelt-Zylinder) gebündelten schnellen Elektronen aus einer Glühkathode beschießt. Die Energie der Elektronen wird dort in Strahlung verwandelt, größtenteils jedoch aber in Wärme, so dass die Antikathode meist gekühlt werden muss. Die Anodenspannung beträgt typischerweise zwischen 50 und 300 kV (vgl. [4]). Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass Röntgenstrahlung auch durch Elektronen- oder Stoßanregung freier Atome und damit frei von Festkörper-Einflüssen erzeugt werden kann. Der Nachweis erfolgt durch Photoplatte, Film, Zählrohr oder in neuer Zeit durch Halbleiter-Detektoren (vgl. [5]).

Historisch ist zu bemerken, dass es noch fast 20 Jahre nach Röntgens Entdeckung zweifelhaft war, ob es sich um Wellen oder (klassische) Teilchen handelt. Tatsächlich kann Röntgenstrahlung sowohl als Welle als auch als Quantenteilchen aufgefasst werden (Welle-Teilchen-Dualismus) und es waren Röntgenspektren, die zur Theorie des Schalenaufbaus der Atome geführt haben.

Für die Anwendung von Röntgenstrahlung in der Medizin (vgl. Abschnitt 2) ist insbesondere die Schwächung beim Durchgang durch Materie relevant. Die wichtigsten Schwächungsmechanismen sind Photoeffekt, Streuung (Compton-Effekt) und Paarbildung (vgl. [4,5]). Der Versuchsaufbau zur Messung der Absorption von Strahlung in Materie ist in Abb. 3 dargestellt (vgl. [1, 5]). Nehmen wir an, der einfallende Strahl hätte die Intensität I(0) und durchlaufe ein homogenes Medium der Dicke d, dann gilt für die Intensität I(d) des austretenden Strahles

I(d) = I(0) 2-d/d1/2.    (1)

d1/2 ist dabei die Halbwertsdicke. Aus (1) und dem linearen Schwächungskoeffizienten = (ln 2) = d1/2 folgt das Lambert-Beer-Gesetz (vgl. [5])

I(d) = I(0) exp(-d).

Auch die Abschwächung von Gamma-Strahlung in Materie (vgl. [1]), die Schwächung eines Lichtstrahls beim Durchgang durch ein absorbierendes Medium, aber auch die Abschwächung eines Elektronenbündels beim Durchgang durch Materie (vgl. [5]) erfolgen nach diesem Gesetz.

Die Bezeichnung "linearer" Schwächungskoeffizient kommt von
= Photoeffekt + Paarbildung + Streuung.

Des Weiteren hängt vom Material (genauer gesagt besteht eine Abhängigkeit von der Kernladungszahl Z, vgl. [5]) und auch von der Energie E der Röntgenquanten (also der Frequenz der verwendeten Röntenstrahlung) ab, d.h. = (Z;E). Die Theorie der Röntgenabsorptionsspektren ist jedoch nicht Teil dieser Arbeit. Für die Computertomographie wird meist monochromatische Röntgenstrahlung (also Röntgenstrahlung einer Frequenz) verwendet, d.h. = (Z). Einige Beispiele für Absorptionskoeffizienten sind in Tabelle 1 gegeben (siehe auch [5,7,10] für weitere Details).



Abbildung 3. Versuchsaufbau zur Messung der Absorption von Strahlung in Materie.

   Energie
(keV)
   Knochen    Gehirn-
zellen
   Brustkrebs-
metastasen
   Meningiom    chronisches
Hämatom
   Gehirn-
flüssigkeit
  
   41    0.999    0.265    0.288    0.269    0.266    0.260   
52 0.595 0.226 0.241 0.227 0.228 0.222
60 0.416 0.210 0.220 0.213 0.212 0.207
84 0.265 0.183 0.190 0.187 0.184 0.181
100 0.208 0.174 0.179 0.176 0.175 0.171
 
Tabelle 1. Absorptionskoeffizient in cm-1 für Röntgenstrahlung als Funktion der Photonenenergie für verschiedene Gewebetypen (aus [7]).

Wir gehen ab jetzt davon aus, dass die Streuung der Röntgenstrahlung vernachlässigt werden kann. Die Abschwächung der Intensität der Strahlung ist dann lokal proportional zur vorhandenen Intensität, wobei die ortsabhängige Proportionalitätskonstante gerade der Schwächungskoeffizient = (x) am Ort x ist. Ist I = I(x) die Intensitätsfunktion und dI die Intensitätsänderung entlang eines (infinitesimal) kleinen Wegstücks der Länge ds, dann gilt

dI = -I(x) (x) ds.

Hieraus ergibt sich zunächt die Differentialgleichung

d ln I(x) = 1   dI = -(x)
ds I(x) ds

und weiter durch Integration über einen Weg von einer Quelle am Ort Q zu einem Detektor am Ort D die fundamentale Beziehung

- (x)ds = ln I(D) - ln I(Q) = ln  I(D) .    (2)
I(Q)

Bemerkung: In der Praxis werden zu Ehren von G. N. Hounsfield die Schwächungswerte als relative Abweichung zum Schwächungswert des Wassers als CT-Zahl in Hounsfield-Einheiten angegeben:

CT-Zahl Gewebe - Wasser  · 1000 HU
Wasser

[CT-Zahl] = 1HU = Hounsfield Unit. Die Hounsfield-Skala ordnet unterschiedlichen Substanzen im Körper unterschiedliche Werte zu (vgl. [3,10]).

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Auszüge aus dem Artikel "Mathematik fürs Leben am Beispiel der Computertomographie"
Autoren: Marlis Hochbruck · Jörg-M. Sautter

Kompletter Artikel (pdf)