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Arbeitsgruppe Numerik

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Numerik

7. Numerische Beispiele

Um die mathematischen Methoden zur Rekonstruktion eines zweidimensionalen Bildes aus Projektionsdaten zu testen, simulieren wir die Datensammlung eines Computertomographen mit der in Abschnitt 4 beschriebenen Geometrie. Dazu geben wir uns ein Phantom vor, simulieren eine Messung mit einem Objekt, das im Querschnitt gerade die Materieverteilung unseres Phantoms hat und versuchen anschließend, das vorgegebene Phantom zu rekonstruieren. Wir haben so die Möglichkeit, die Qualität der Rekonstruktion mit dem exakten Bild zu vergleichen.

Für die folgenden numerischen Berechnungen verwenden wir die Parameter eines Computertomographen mit Pmin = -258.97 mm, Pmax = 258.20 mm, min = 69°, max = 248.38° und einem quadratischen Bildgebiet 2 (vgl. Abb. 5) der Kantenlänge 300 mm.

Unser Phantom entsteht durch Superposition von Elementarobjekten, die an gewünschten Positionen in beliebiger Orientierung und Größe sowie mit beliebigem Wert für die Dichte (evtl. negativ) platziert werden können. Die Dichte des Bildes in einem festen Punkt wird deffniert als die Summe der Dichten aller Elementarobjekte, in denen der Punkt liegt. Diese muss natürlich stets nichtnegativ sein. Als Elementarobjekte wollen wir uns an dieser Stelle der Einfachheit halber auf Ellipsen beschränken.

Zum Erstellen der rechten Seite b aus (7) verwenden wir für unsere Tests das Phantom aus Abb. 7, das mit den Parametern aus Tabelle 3 erzeugt wurde. Dabei ist (Cx;Cy) der Mittelpunkt, hx, hy sind die Halbachsen und ist der Drehwinkel der Ellipse.



Abbildung 7. Standard Kopf-Phantom

   Nr.    Typ    Cx    Cy    hx    hy         
   1    Ellipse    0    0    120    140    0    2   
2 Ellipse 0 -5 110 130 0 -1.5
3 Ellipse 0 60 30 40 0 1
4 Ellipse 30 0 30 70 -5 -0.5
5 Ellipse -30 10 15 50 5 -0.5
6 Ellipse 20 -100 5 10 0 1
7 Ellipse -20 -100 10 5 0 1
 
Tabelle 3. Beschreibung der Elementarobjekte, die in Bild 7 verwendet wurden
(in mm, Grad bzw. dm-1)

Abbildung 8. Diskretisiertes Phantom, d.h. bestmögliche Lösung bei
gegebener Auflösung (n = 16, n = 32, n = 64)

Für die k-te Iterierte (k) = (1(k) ,...,n2(k))T des cgls-Verfahrens aus Algorithmus 1 ist der Fehler der Rekonstruktion

(k)(x) =  n2 i(k)i (x)
i = 1

durch e(k) := ||(k) - ||

gegeben, wobei die exakte Funktion für Schwächungskoefizienten (vgl. Abb. 7) und ||·|| die L2-Norm ist. Sei diskret eine Diskretisierung von mit n×n Pixeln (vgl. Abb. 8). Diese kann zum Beispiel durch Mittelung des Schwächungskoefizienten an einer gewissen Anzahl gleichverteilter Punkte in einem Pixel deffniert werden. Ist Lösung von (8) und (x) = i=1n2 ii(x), dann gilt

e(k) := ||(k) - || ||(k) - || + || - diskret || + ||diskret - ||.

Der Fehler der Rekonstruktion setzt sich also aus dem Fehler der Lösung des Gleichungssystems, dem Modellierungsfehler und dem Diskretisierungsfehler zusammen. Dabei ist der Diskretisierungsfehler um so kleiner, je größer die Anzahl der Pixel n2 und der Modellierungsfehler um so kleiner, je größer die Anzahl der Strahlen, also je größer n und nP sind. Das Verhalten des Fehlers der Rekonstruktion ist in Abb. 9 dargestellt.

Die Daten (4) zweier Durchleuchtungen des Phantoms sind in Abb. 10 als Funktion von 2 --> dargestellt. Hierbei sind auf der x-Achse die n Winkelpositionen der um das Objekt rotierenden Apparatur und auf der y-Achse die nP parallelen Strahlen je Winkelposition als Grauwerte aufgetragen. Abb. 11, 12 und 13 zeigen die Rekonstruktion des Schnittbilds nach 1, 8 und 30 Iterationen des cgls-Verfahrens für verschiedene Auflösungen.

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Auszüge aus dem Artikel "Mathematik fürs Leben am Beispiel der Computertomographie"
Autoren: Marlis Hochbruck · Jörg-M. Sautter

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